Fungsi
·
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan
(image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
·
Himpunan yang berisi semua nilai
pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f
adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.
Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk,
diantaranya:
1.
Himpunan pasangan terurut.
Seperti pada relasi.
2. Formula
pengisian nilai (assignment).
Contoh:
f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x.
3. Kata-kata
Contoh:
“f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.
4. Kode
program (source code)
Contoh:
Fungsi menghitung |x|
·
Fungsi f dikatakan Satu-ke-satu
(one-to-one) atau Injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A
yang memiliki bayangan sama.
Contoh:
·
f = {(1, w), (2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x}
adalah fungsi satu-ke-satu,
·
f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A =
{1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi
satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) =
u.
Contoh:
Misalkan f : Z → Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?
Penyelesaian:
i.
f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu,
karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai
fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 ≠ 2.
ii.
f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu
karena untuk a
b, a – 1
b
– 1.
Misalnya
untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.
·
Fungsi f dikatakan dipetakan Pada (onto)
atau Surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan
dari satu atau lebih elemen himpunan A.
·
Dengan kata lain seluruh elemen B
merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.
Contoh:
·
f = {(1, u), (2, u), (3, v)}
dari
A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan
fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f.
·
f = {(1, w), (2, u), (3, v)}
dari
A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi
pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.
Contoh:
Misalkan
f : Z → Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi
pada? Penyelesaian:
i.
f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat
merupakan jelajah dari f.
ii.
f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x
yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.
·
Fungsi f dikatakan Berkoresponden
Satu-ke-satu atau Bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga
fungsi pada.
Contoh:
·
f = {(1, u), (2, w), (3, v)}
dari
A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu
maupun fungsi pada.
·
f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden
satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.
Balikan
(Invers)
·
Jika f adalah fungsi berkoresponden
satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.
·
Balikan fungsi dilambangkan dengan f^(-1)
Contoh
·
f
= {(1, u), (2, w), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B
= {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f
adalah f^(-1) = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}
Komposisi
·
Komposisi dari dua buah fungsi.
·
Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A
ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C.
·
Komposisi f dan g, dinotasikan dengan
, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan
oleh (fog)(a)=f(g(a))
Contoh
·
Diberikan g = {(1, u), (2, u), (3, v)}
yang
memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w},
dan
fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)}
yang
memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}.
·
Fungsi komposisi dari A ke C adalah
Contoh
·
Diberikan fungsi f(x)=x-1
dan g(x)=x^2+1
. Tentukan fog
Penyelesaian:
i.
(fog
)(x)
= f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
ii.
(gof
)(x)
= g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2.
Referensi
Munir,
R., 2005, Matematika Diskrit,
Penerbit
IF, Bandung.
Rosen,
H Kenneth (2012). Discrete
Mathematics
and Its Applications. Mc Graw Hill.
Siang,
J.J., 2002, Matematika Diskrit dan
Aplikasinya
pada Ilmu Komputer.
