Matematika Diskrit (Fungsi) TI Politala 1D

Fungsi

·         Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

·         Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya:

1.      Himpunan pasangan terurut.

 Seperti pada relasi.

2.      Formula pengisian nilai (assignment).

Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x.

3.      Kata-kata

Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.

4.      Kode program (source code)

Contoh: Fungsi menghitung |x|

·         Fungsi f dikatakan Satu-ke-satu (one-to-one) atau Injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

Contoh:

·         f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

       dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu,

·         f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2)  = u.

Contoh:

Misalkan f : Z → Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?

Penyelesaian:

               i.            f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 ≠ 2.

             ii.            f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a  b, a – 1  b – 1.

Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

·         Fungsi f dikatakan dipetakan Pada (onto) atau Surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

·         Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Contoh:

·         f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f.

·         f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

Contoh:

Misalkan f : Z → Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada? Penyelesaian:

        i.            f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f.

      ii.            f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

·         Fungsi f dikatakan Berkoresponden Satu-ke-satu atau Bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada.

Contoh:

·         f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

·         f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang  berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Balikan (Invers)

·         Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.

·         Balikan fungsi dilambangkan dengan f^(-1)  . Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f^(-1)(b) = a jika f(a) = b.

Contoh

·         f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah f^(-1) = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}

Komposisi

·         Komposisi dari dua buah fungsi.

·         Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C.

·         Komposisi f dan g, dinotasikan dengan , adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (fog)(a)=f(g(a))

Contoh

·         Diberikan g = {(1, u), (2, u), (3, v)}

yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w},

dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)}

yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}.

·         Fungsi komposisi dari A ke C adalah

  fog = {(1, y), (2, y), (3, x) }

Contoh

·         Diberikan fungsi f(x)=x-1  dan g(x)=x^2+1  . Tentukan fog dan gof.

Penyelesaian:

                    i.            (fog )(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.

                  ii.            (gof )(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2.

Referensi

Munir, R., 2005, Matematika Diskrit,

Penerbit IF, Bandung.

Rosen, H Kenneth (2012). Discrete

Mathematics and Its Applications. Mc Graw Hill.

Siang, J.J., 2002, Matematika Diskrit dan

Aplikasinya pada Ilmu Komputer.